En una entrada anterior vimos que el grupo de Lorentz, que define las transformaciones legales en el juego de la relatividad especial, implicaban un cierto álgebra de Lie de sus generadores infinitesimales:
\[[J^k, J^l]=i \varepsilon_{klm}J^m \qquad [J^k, K^l]=i\varepsilon_{klm}K^m \qquad [K^k, K^l]=-i\varepsilon_{klm}J^m\]
Para hacer la notación un poco más compacta, podemos definir las matrices \(J^{\mu\nu}\) como
\[J^{23} = - J^{32} = J^1 \qquad J^{31}=-J^{13} =J^2 \qquad J^{12}=-J^{21}=J^3\]\[J^{01}=-J^{10} = K^1\qquad J^{02}=-J^{20} = K^2\qquad J^{03}=-J^{30}=K^3\]
y los parámetros de la transformación \(\omega_{\mu\nu}\) como \[\omega_{23} = - \omega_{32} = \theta^1 \qquad \omega_{31}=-\omega_{13} =\theta^2 \qquad \omega_{12}=-\omega_{21}=\theta^3\]\[-\omega_{01}=\omega_{10} = \eta^1\qquad -\omega_{02}=\omega_{20} = \eta^2\qquad -\omega_{03}=\omega_{30}=\eta^3\]
Con lo cual una transformación de Lorentz se puede reescribir como \[\Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}\right)\]y las relaciones de conmutación como
\[[J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma}] = i (g^{\nu\rho}J^{\mu\sigma} - g^{\nu\sigma}J^{\mu\rho} - g^{\mu\rho}J^{\nu\sigma} + g^{\mu\sigma} J^{\nu\rho}) \]
La matriz \(g^{\mu\nu}\) es la métrica del espacio. En la relatividad especial, es diagonal y tiene elementos \(\{1, -1, -1, -1\}\) (aunque también se puede elegir el convenio con los sognos opuestos)
La tarea que dejamos pendiente era encontrar representaciones para ese grupo, es decir, matrices que cumplieran las relaciones de conmutación. Vamos a ver unas cuantas:
Representación escalar
Es la opción más sencilla: no hacer nada. Si escogemos \(J^i = K^i = 0\), las relaciones de conmutación se cumplen, de un modo bastante evidente. Muchas cantidades físicas importantes trasnforman como escalares, como la masa, el intervalo espciotemporal, o la densidad lagrangiana.
Podemos ir un poco más allá y construir campos escalares, es decir, magnitudes cuyo valor dependa del punto (espaciotemporal), y que no cambien al hacer una transformación de Lorentz, \(\phi(x)\) \[\phi(x) \to \phi'(x') = \phi(x)\]
Adelantando un poco los acontecimientos, próximamente veremos que los campos están relacionados con las partículas. El mejor ejemplo de un campo escalar (complejo) es el archiconocido bosón de Higgs.
Representación vectorial
Si nuestro cometido es encontrar unas matrices con las mismas relaciones de conmutación que las \(J^i\), \(K^i\), una elección lógica es usar estas matrices. Así obtenemos la representación vectorial, en la que las matrices de la transformación son las \(\Lambda\) ya conocidas. Estas matrices tienen dimensión 4x4, por lo que actuaran sobre objetos de dimensión 4 a los que llamaremos cuadrivectores contravariantes. Cada una de las componentes las identificaremos con un superíndice \(x^\mu\). También etiquetaremos las filas de \(\Lambda\) con subíndices y las columnas con superíndices, y supondremos que se hace una suma en cada par de índices repetidos. Así, una transformación de Lorentz de un cuadrivector contravariante es \[x^\mu \to {x'}^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu\]
Otra representación sencilla consite en tomar \({J'}^i = J^i\), \({K'}^i = - K^i\), la representación conjugada. La matriz definida con estos generadores es \[{\Lambda_\mu}^\nu = \exp(-i\vec{\theta}\cdot\vec{J'} - i \vec{\eta}\cdot\vec{K'}) = g_{\rho\mu}{\Lambda^\rho}_\sigma g^{\sigma\nu}\]es la matriz hermítica a la de la representación vectorial. Ambas representaciones están relacionadas por una transformación de semejanza dada por \(g\), por lo que las representaciones vectorial y su conjugada son equivalentes. Los objetos de 4 componentes que transforman con esta representación se llaman cuadrivectores covariantes, y sus componentes se identifican mediante subíndices, \(x_\mu\):
\[x_\mu \to x'_\mu = {\Lambda_\mu}^\nu x_\nu\]
El producto de un vector covariante y otro contravariante es un escalar. Un ejemplo típico de cuadrivector es el cuadrimomento \(p^\mu = (E, \vec{p})\). Su módulo por tanto es un escalar, la masa:\[p^\mu p_\mu = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = E^2 - p^2 = m^2\]
Si definimos un cuadrivector en cada punto del espaciotiempo, tenemos un campo vectorial \(A^\mu(x)\). En la física de partículas, los campos vectoriales son los encargados de mediar las interacciones: los fotones, los gluones y los bosones W y Z.
Representaciones tensoriales
En nuestros escarceos previos con la teoría de grupos, ya vimos que existía una receta para construir representaciones nuevas a partir de otras de dimensión menor: el producto tensorial. El grupo de Lorentz no es una excepción. Haciendo productos tensoriales de \(n\) vectores contravariantes y \(m\) vectores covariantes se obtiene un tensor de rango \((n,m\):\[V^{i_1}\otimes \cdots \otimes V^{i_n}\otimes V_{j_1}\otimes\cdots\otimes V_{j_m} = T^{i_1\cdots i_n}_{j_1\cdots j_m}\]
Para hacer su transformación de Lorentz, hay que incluir una \(\Lambda\) por cada índice. Por ejemplo, para un vector de rango 2:\[T^{\mu\nu} \to {T'}^{\mu\nu} = {\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda^\nu}_\sigma T^{\rho\sigma}\]
Algunos tensores importantes son el tensor de energía-momento, la densidad de momento angular y, por supuesto, la métrica \(g\). Al pasar a campos tensoriales, tenemos el ejemplo del gravitón (de hecho, el gravitón es la métrica...).
Representación espinorial
¿Creíais que ya hemos visto todas las representaciones? Pues me temo que no, que el grupo de Lorentz aún nos depara una sorpresa. Para verlo, definimos las siguientes combinaciones de generadores:
\[A^i = J^i + i K^i \qquad B^i = J^i - i B^i\]Si las introducimos en el álgebra de Lie de Lorentz, encontramos las siguientes relaciones de conmutación:\[[A^i, A^j] = i\varepsilon_{ijk}A^k \qquad [B^i, B^j] = i\varepsilon_{ijk}B^k \qquad [A^i, B^j]=0\]¿Os suena de algo? Las matrices \(A\) y \(B\) definen dos álgebras de Lie de grupos SU(2) independientes. En jerga, esto se dice que el grupo de Lorentz es localmente isomorfo a SU(2)xSU(2). Por lo tanto, cada representación la podremos catalogar por el espín de cada uno de los generadores, \((j_1, j_2)\)
Como SU(2) ya lo conocemos bastante bien, podemos aprovecharlo para crear nuevas representaciones. Un ejemplo sencillo es tomar \(A^i = \sigma^i\) (las matrices de Pauli), y \(B^i = 0\), la representación (1/2, 0). La transformación es \[\Lambda_L = \exp\left[(-i\vec{\theta}-\vec{\eta})\cdot \vec{\sigma}\right]\]Esta transformaciones actúan sobre objetos con dos componentes, a los que llamaremos espinores de Weyl zurdos, \(\psi_L\).
Del mismo modo podemos construir la representación (0, 1/2) con los generadores \(A^i=0\), \(B^i = \sigma^i\). La transformación está dada (¡cuidado con el cambio de signo en la rapidez!) por \[\Lambda_R = \exp\left[(-i\vec{\theta}+\vec{\eta})\cdot \vec{\sigma}\right]\]Esta transformación actúa sobre los espinores de Weyl diestros \(\psi_R\).
Los espinores de Weyl están muy bien, aunque presentan algunos problemas: en primer lugar, al hacer una transformación de paridad, un espinor zurdo se transforma en diestro y viceversa. Además, cuando intentemos hacer partículas con espinores, estos no aceptan partículas masivas. Para solucionar ambos problemas, creamos los espinores de Dirac \(\psi_D\). Un espinor de Dirac tiene cuatro componentes, de las cuales las dos primeras transforman como un espinor de Weyl diestro y las otras dos como un espinor zurdo:
\[\psi_D = \begin{pmatrix} \psi_R\\\psi_L\end{pmatrix}\]
\[\psi_D \to \psi'_D = \begin{pmatrix} \Lambda_R & 0\\ 0 & \Lambda_L\end{pmatrix}\psi_D = \Lambda_D \psi_D\]
Los campos espinoriales representan a las partículas de "materia": electrones, quarks, neutrinos.
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